Vector Spaces and Subspace

정의 1. 공간 (덧셈과 스칼라곱에 대해서 닫혀있는 집합)

집합 V의 임의의 원소 u,v와 임의의 스칼라 k에 대하여

① u+v∈V   ② ku∈V

을 만족할 때 집합(Set) V를 공간(Space) V라고 한다.

 

정의 2. 벡터 공간 (공간 중에서 벡터 성질 8가지를 만족하는 공간)

공간 V의 임의의 원소 u,v,w와 임의의 스칼라 k,l에 대하여 다음이 모두 만족 될 때,

공간 V를 벡터공간(Vector space) V라 한다.

① u+v = v+u   ② (u+v)+w = u+(v+w)   ③ u+0 = u   ④ u+(-u) = 0

⑤ k(u+v) = ku + kv   ⑥ (k+l)u = ku + lu   ⑦ (kl)u = k(lu) = l(ku)   ⑧ 1u = u

 

벡터 공간인지 확인 하기위해서 확인할 사항이 굉장히 많으므로

일반적으로 ① u+v∈V  ② ku∈V  ③ u+0 = u

세가지 항목을 확인한다. ③은 zero vector가 존재하는지 확인하는 절차이다. 

ex) 집합 {(V1, V2, V3) ㅣ V1+V2=0} 일 때, 벡터공간인가?

sol) 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀있고, (0,0,0) zero vector이 존재하므로 벡터공간이다.

ex) 집합 {(V1, V2, V3) ㅣ V1+V2+V3=1} 일 때, 벡터공간인가?

sol) (0,0,0) zero vector가 존재하지 않으므로 벡터공간이 아니다.

 

정의 3. 벡터공간 V에 포함된 부분집합(Subset) W가 벡터공간의 정의를 만족 할 때,

부분공간(Subspace) W 라 한다.

 

벡터공간의 일부분을 떼어낸다고 해서 벡터공간이 되는 것은 아니다.

크림빵의 일부분을 떼어냈을 때 크림이 들어있지 않으면 크림빵이라고 부르지 않는 것과 같다.

벡터 공간 R²의 부분공간은 {0}과 자기자신 R²와 R²의 원점을 지나는 모든 직선뿐이다.

벡터 공간 R³의 부분공간은 {0}과 자기자신 R³와 R³의 원점을 지나는 모든 직선 그리고

원점을 지나는 모든 평면뿐이다.