Linear Independence

정의 1. 벡터공간 V의 부분집합 {v₁,v₂,...,vn}과 임의의 실수 a₁,a₂,...,an에대해

a₁v₁+a₂v₂+...+anvn = 0 이라 할 때,

(1) a₁ = a₂ = ... = an = 0 이면 {v₁,v₂,...,vn}은 일차(선형)독립이라 한다.

(2) a₁,a₂,...,an 중에 적어도 하나 0이 아닌 것이 존재 할 때, {v₁,v₂,...,vn}은 일차(선형)종속이라 한다.

즉, 실수배로 나머지 벡터를 표현할 수 있으면 종속이다.

벡터공간 V에 0벡터가 있으면 종속이다. 실수0을 곱해서 0벡터를 만들 수 있기 때문이다.

 

Rank는 일차독립의 최대개수를 말한다.

 

정의 2. 벡터공간 V에 대하여 S = {v₁,v₂,...,vn}는 V의 부분집합이라 하자.

집합 S가 다음 두 가지 조건을 만족할 때,

 S를 V의 기저(basis) 라 한다.

① {v₁,v₂,...,vn} 이 V를 생성한다.

② {v₁,v₂,...,vn} 이 선형독립이다.

쉽게말해서, 어떤 공간이 생성되는데 있어서 가장 액기스가 되는 존재들을 말한다.

흑백그림을 그리기 위해서는 흑백그림은 생성이고

종이, 연필, 지우개는 기저(basis) 이다.

수 많은 기저 중에서 표준이 되는 기저를 표준기저라고 한다.

기저는 다양하지만 기저의 수는 변하지 않는다. R²는 2개, R³는 3개,...

이러한 기저의 개수를 차원이라고 한다.

ex) R²의 표준기저 {(1,0),(0,1)}

R²의 기저 : {(1,0),(1,1)}, {(1,0),(1,3)} 등등

 

정의 3. S={v₁,v₂,...,vn} 이 벡터공간 V의 기저이면 V에 속하는 모든 벡터 v는

적당한 실수 a₁,a₂,...,an에 대하여

v = a₁v₁+a₂v₂+...+anvn으로 나타낼 수 있다.

이때, (a₁,a₂,...,an)을 기저 S에 대한 v의 좌표벡터(상대좌표, 좌표행렬) 이라 한다.

ex) R²의 순서기저 S={(-1,1),(2,0)}에 대한 벡터 v=(3,-1)의 좌표벡터는?

(3,-1) = a(-1,1) + b(2,0)

a=-1, b=1 이므로

좌표벡터는 (-1,1)이다.

 

정의 4. 벡터공간 V가 n개의 벡터로 이루어진 기저를 갖는다면, V의 차원을 n이라고 한다.

또한 V의 차원을 dim V로 표시한다.

벡터공간 V의 기저의 원소개수

= 벡터공간 V의 선형독립이 되는 최대 개수

= 벡터공간 V의 차원 = dim V